Nedávno Flaminio a Montagna algebraizovali pojem stavu na MV-algebre tak, že sa pridal stavový operátor k jazyku MV-algebry. Jeho silnejšia forma je tzv. stavový morfizmus, čo je idempotentný endomorfizmus. Ukázali sme, že špeciálna forma stavového morfizmu, tzv. diagonálny operátor, generuje variety MV-algebier so stavovým operátorom. Tento výsledok sa zovšeobecnil pre BCK-algebry v práci [23]. Najvšeobecnejšia forma tohto výsledku sa dokázala pre ľubovoľné algebry v článku [27]. Podobné výsledky sa študovali aj v stati [74].
Pseudo BL-algebry sú nekomutatívne zovšeobecnenie BL-algebier. Takéto algebry majú dve implikácie a dve negácie. Bol otvorený problém, či existujú pseudo BL-algebry, kde by tieto dve negácie nekomutovali. Už skôr v jednom článku od A. Dvurečenského a kol. sa ukázalo, že takéto pseudo BL-algebry existujú a dôležitú úlohu tam zohrala konštrukcia vychádzajúca z grupy celých čísel. Táto konštrukcia sa v práci [19] prehĺbila a zovšeobecnila pre ľubovoľnú l-grupu. Princíp konštrukcie je v tom, že sa vychádza z l-grupy, jej kladného a záporného kónusa, dvoch mocnín a dvoch injektívných zobrazení. Zlepením príslušných mocnín kónusov a operácií pomocou zobrazení vznikne pseudo BL-algebra, ktorá sa nazýva kite pseudo BL-algebra. Dôležité vlastnosti takýchto kite pseudo algebier, ako je subdirektná ireducibilita, charakterizácia good kite algebier (t.j. negácie komutujú), atď, sa popísali v článku [19]. Táto konštrukcia sa preniesla aj na čiastočne usporiadané grupy, kde mocniny sa rovnajú a injektívne zobrazenia sú dokonca bijekcie. Výsledná algebra je pseudo efektová algebra, ktorá sa volá kite pseudo efektová algebra. Táto konštrukcia a jej základné vlastnosti sa popísali v prácach [20] a [33]. Táto konštrukcia sa preniesla aj do článkov [76] a [25], kde sa použili namiesto kónusov tzv. zovšeobecnené pseudo efektov algebry. V práci [42] sa popísali n-perfektné pseudo efektové algebry a ukázalo sa v akej unitálnej po-grupe s RDP so silnou jednotkou je daná n-perfektná algebra intervalom.
V článku [21] sa študovali atomické efektové algebry s Rieszovou dekompozičnou vlastnosťou. n-perfektná pseudo efektová algebra sa charakterizuje ako algebra, ktorá je rozdelená na n+1 porovnateľných vrstiev s prirodzenou štruktúrou. Takéto pseudo efektové algebry sa študovali v práci [61] pomocou diskrétnych stavov s n+1 hodnotami. Takéto algebry sú potom intervalom v lexikografickom súčine Z x G so silnou jednotkou u=(n,0). Pojem n-perfektnej algebry sa dá zovšeobecniť na tzv. (H,u)-perfektnú pseudo efektovú algebru alebo na (H,u)-perfektnú pseudo MV-algebru, kde (H,u) je vhodná čiastočne usporiadaná grupa so silnou jednotkou. Pre tieto algebry je prvotné vyskúmať, kedy lexikografický súčin H x G dvoch po-grúp splňuje niektorý typ Rieszovej dekompozičnej vlastnosti. Tento postup bol robený v prácach [34] pre n-perfektné pseudo efektové algebry, v článku [75] pre podgrupy H grupy celých čísel a v [30]. Všeobecný tvar H-perfektných pseudo MV-algebier bol popísaný v článku [41] a najobecnejšie výsledky pre lexikografické pseudo MV-algebry sú získané v článku [37]. Tieto výsledky boli zovšeobecnené aj pre lexikografické efektové algebry s RDP v príspevku [40]. Ďalšie dôležité vlastnosti sa dokázali v stati [26] a v práci [78] sú dokázané Rieszovske dekompozičné vlastnosti špeciálnych typov po-grúp.
V poslednej dobe sa ukázal zaujímavý vzťah niektorých dôležitých algebrických a kvantových štruktúr na jednej strane a čiastočne usporiadaných grúp a l-grúp na strane druhej. Takáto situácia vzniká pri popise efektových a pseudo efektových algebier, MV-algebier a pseudo MV-algebier, lineárne usporiadaných pseudo BL-algebier (kedy sa takéto algebry dajú reprezentovať ako ordinálny súčet záporných intervalov alebo záporných kónusov l-grúp). Tieto situácie sú podrobne študované v článkoch [28] a [31].
V článku [60] sa študoval tzv. smearing pozorovateľných a ich vzťah k spektrálnym mieram na kvantových štruktúrach. V [38] sa popísali situácie v efektových algebrách, keď informácia o pozorovateľnej známa len pre intervaly (-oo,t) pre každé reálne číslo t popisuje úplne danú pozorovateľnú. V práci [29] sa študovali reprezentovateľné efektové algebry, t.j. efektové algebry, ktoré sú homomorfným obrazom nejakej efektovej algebry fuzzy množín. Výsledky sa aplikovali na popis pozorovateľných. V [22] sa študovali bilineárne formy definované na Hilbertovom priestore pomocou zovšeobecnených efektových algebier. Pre štúdium kvantových štruktúr je pojem stavu fundamentálnym pojmom. V článku [24] sa študovala integrálna reprezentácia stavov na rôznych kvantových štruktúrach. V práci [35] sa pojednáva o L-usporiadaných a L-usporiadaných grupách. V [73] je predstavené nekomutatívne zovšeobecnenie tzv. equality algebier. V článku [77] sa charakterizovali pseudo BL-algebry, kde každý maximálny filter je normálny. Našli sa identity, ktoré charakterizujú túto varietu pseudo BL-algebier.
Pojem stavového operátora, ktorý zaviedli Flaminio a Montagna, resp. stavového morfizmu, bol skúmaný vo vzťahu ku konvexným efektovým algebrám, MV-párom a pseudoefektovým algebrám. - Ukázali sme vzťah medzi stavovými operátormi na konvexných efektových algebrách a podmienenými strednými hodnotami v algebraickom i probabilistickom zmysle.[16] - Ukázali sme vzťahy medzi MV-pármi so stavovými operátormi a stavovými MV-algebrami, podobné vzťahom medzi MV-pármi a MV-algebrami [10]. - Bolo ukázané, že každá pseudoefektová algebra so stavovým morfizmom sa dá reprezentovať ako (totálna) stavovo-morfizmová algebra, v ktorej sa dajú aplikovať niektoré výsledky z všeobecnej teórie stavovo-morfizmových algebier [15].
Pod unitizáciou generalizovanej pseudoefektovej algebry rozumieme jej vnorenie do pseudoefektovej algebry. Je známe, že každá generalizovná efektová algebra nadobúda tzv. binárnu unitizáciu, ktorá vzniká vhodným spojením dvoch identických kópií danej generalizovanej efektovej algebry. Pre generalizované pseudoefektové algebry existencia binárnej unitizácie bola známa len pre špeciálny, tzv. slabo komutatívny typ. - Ukázali sme,že nutná a postačujúca podmienka k tomu, aby zovšeobencená pseudoefektová algebra mala binárnu unitizáciu, je existencia tzv. unitizujúceho automorfizmu.[11] - Našli sme vzťah medzi ideálmi zovšeobecnenej efektovej algebry a ideálmi v jej unitizácii vzhľadom na daný unitizujúci automorfizmus. Našli sme tiež vzťah medzi unitizáciou a konštrukciou tzv. kite pseudoefektovej algebry.[71]
Prvky centra efektovej algebry sú v jedno-jednoznačnej korešpondencii s jej direktnými rozkladmi. Pre generalizované efektové algebry je jedno-jednoznačná korešpondenci medzi direktnými rozkladmi a prvkami exocentra, v ktorom centrálne prvky sú podmnožinou.
-Ukázali sme, že určité generalizované booleove subalgebry exocentra generalizovanej efektovej algebry E určujú hull systémy, podobne ako v prípade invariantných prvkov efektovej algebry. Pomocou hull sytémov sme identifikovali niektoré špeciálne prvky v E, napr.subcentrálne prvky, monády a diády.[4] - Pojem exocentra generalizovanej efektovej algebry E sme rozšírili na generalizovanú pseudoefektovú algebru. Exocentrum tvorí booleovu algebru, v ktorej centrálne prvky v E tvoria generalizovanú booleoveu podalgebru, a prvky exocentra sú v 1-1 korešpondencii s priamymi rozkladmi E [5].
Loomisovu dimenznú teóriu, ktorá bola rozšírená na efektové algebry, sme ďalej rozšírili na generalizované efektové algebry. - Dokázali sme, že dimenzná generalizovaná efektová algebra, t.j. dedekindovsky úplná a centrálne ortoúplná generalizovaná efektová algebra s dimenznou reláciou ekvivalencie sa rozkladá na typy I,II a III, analogicky s rozkladom dimenznej efektovej algebry. [3]
Pojem synaptickej algebry zaviedol D. Foulis ako spoločné zovšeobecnenie samoadjungovaných prvkov von Neumannových algebier, Jordanových algebier, order-unit priestorov, ortomodulárnych zväzov a efektových algebier. -Ukázali sme, že projekcie obsiahnuté v kvadratickom ideáli ortomodulárneho zväzu projekcií synaptickej algebry tvoria p-ideál, a našli sme charakterizáciu tých kvadratických ideálov, ktoré sú generované svojimi projekciami.[2]- Bolo ukázané, že relácia ekvivalencie, definovaná konečnými postupnosťami symetríí na projekciách synaptickej algebry, má v prípade, že synaptická algebra je centrálne úplná, mnohé vlastnosti dimenznej ekvivalencie na ortomodulárnych zväzoch. - Pre synaptickú algebru, ktorá je zovšeobecnením samoadjungovanej časti von Neumannovej algebry, sme zovšeobecnili rozklad na typy I,II a III.[ 6]- Zovšeobecnili sme známy Halmošov výsledok o dvoch projekciách (resp. dvoch podpriestoroch) na Hilbertovom priestore v kontexte synaptických algebier.[17] Tento výsledok sme ďalej zovšeobecnili na prípad jedného projektora a jedného efektu.[12]
Pojem rozšírenia grúp sme zovšeobecnili na čiastočne usporiadané čiastočné monoidy.- Ukázali sme, že každé centrálne rozšírenie čiastočne usporiadaného čiastočného monoidu abelovskou grupou je F-súčin daného monoidu a abelovskej grupy definovaný f-kocyklom [1].
Podľa známej vety Butnariu a Klementa, všetky funkcie v tribe sú merateľné vzhťadom na sigma-algebru generovanú jeho charakteristickými funkciami. Skúmali sme podobnú vlastnosť v efektových triboch.-Ukázali sme, že efektový tribe v ktorom všetky funkcie sú merateľné vzhľadom na sigma-algebru generovanú jeho charakteristickými funkciami, je tribe, a monotónne sigma-úplná efektová algebra s RDP,ktorej efektový tribe v Loomis-Sikorského reprezentácii má uvedenú vlastnosť, je MV-algebra [18].
Operátorové efektové algebry sú efektové algebry, ktorých prvky sú lineárne operátory na Hilbertovom priestore, vo všeobecnosti neohraničené. Medzi nimi algebra tzv. efektov, t.j. samoadjungovaných operátorov medzi nulovým a identickým operátorom, hrá kľúčovú rolu v kvantovej teórii merania. Skúmali sme vlastnosti operátorových algebier a možnosti vnorenia (generalizovaných) efektových algebier do operátorových algebier.-Definovali sme D-slabé operátorové topológie na generalizovanej efektovej algebre všetkých pozitívnych lineárnych operátorov s doménou D, hustou v komplexnom separabilnom Hilbertovom priestore H, a porovnali ich vlastnosti so slabou operátorovou topológiou na H.[13]- Pomocou určitej topológie definovanej na generalizovanej efektovej algebre neohraničených lineárnych operátorov na Hilbertovom priestore bolo ukázané, že neohraničené kvázi-Hermitovské operátory sa dajú vyjadriť ako rozdiel dvoch nekonečných súm ohraničených kvázi-Hermitovských operátorov.[8] -Ukázali sme, že pre každú archimedovskú MV-algebru M existuje injektívny MV-algebrový morfizmus do MV-algebry všetkých multiplikatívnych operátorov medzi 0 a I na Hilbertovom priestore kvadraticky integrovateľných komplexných funkcií definovaných na množine extremálnych stavov na M. [7]-Bolo ukázané, že reprezentovateľnosť efektových algebier, resp. generalizovaných efektových algebier vo zväze projekcií Hilbertovho priestoru, úzko súvisí s existenciou bohatej množiny dvoj-hodnotových Jauch-Pironových stavov, resp. generalizovaných dvoj-hodnotových Jauch-Pironových stavov. [14]
Konštrukcia diferenčných posetov (D-posetov) metódou zlepovania atomických σ-úplných MV-algebier, určenie postačujúcich podmienok, aby takéto zlepenia mali zväzovú štruktúru, zovšeobecnenie Greechieho diagramov pre grafickú reprezentáciu MV-algebrových zlepení, analýza blokovej štruktúry konečných distributívnych diferenčných zväzov (D-zväzov). [59]
Pojem tzv. dosvedčujúceho zobrazenia, ktoré charakterizuje kompatibilitu, bol rozšírený z triedy intervalových efektových algebier na všetky efektové algebry. [79]
Order ideál generovaný ideálom centra kompatibility je Rieszov ideál v celej efektovej algebre. Systém kongruencií asociovaných s prvoideálmi centra kompatibility separuje prvky. [45]
Order kongruencie konečného posetu P tvoria poset O(P). O(P) má homotopický typ konečnej množiny sfér rovnakej dimenzie so stotožneným bodom. Ak P je súvislý, počet sfér je rovný počtu lineárnych rozšírení P. [43]
Harding dokázal, že Kalmbachovej konštrukcia je ľavý adjungovaný funktor pre zábudlivý funktor z ortomodulárnych posetov do ohraničených posetov. Kategória algebier pre monádu indukovanú touto adjunkciou na kategórii ohraničených posetov je izomorfná kategórii efektových algebier. [44]
Zábudlivý funktor zo zovšeobecnených efektových algebier do efektových algebier je monadický. Monáda na zovšeobecnených efektových algebrách asociovaná s touto adjunkciou je unitizácia. [46]
Našli sa podmienky extremality pre zovšeobecnené kvantové merania a pre ich realizácie - zovšeobecnené POVM. V špeciálnom prípade meraní na kvantových kanáloch bolo dokázané, že extremálna zovšeobecnená POVM (tzv. tester alebo process POVM) nemusí zodpovedať extremálnemu meraniu. [49]
Pomocou konvexnej štruktúry množín kvantových zariadení bola zavedená tzv. hraničnosť ich vnútorných bodov a bol dokázaný jej vzťah s rozlíšiteľnosťou zariadení. Pre prípad kvantových kanálov bolo dokázané, že najlepšie odlíšiteľný kanála od daného kanála je vždy unitárny. [48]
Bolo zavedené zovšeobecnenie C*-konvexity, tzv. A-konvexita, a bolo dokázané, že extremálne body a faces množiny procesových POVM sú charakterizované A-extremalitou, resp. A-faces, implementujúcich POVM. [47]
Voľba bipolárnej škály v rozhodovaní sa vzťahuje k ideálnej situácii, kde pozitívne a negatívne evaluácie odrážajú voľbu binárnej škály. Avšak priestor rozhodnutí môže obsahovať širšie škály, napr. trojbodovú škálu, kde sa dá rozhodovať medzi ziskom, stratou, a neutrálnym stavom. Skúmali sme pojem multi-polarity v rozhodovaní rozšírením pojmu bipolárnych Choquetových integrálov na multi-polárne Choquetove integrály. [65] Bol zavedený koncept multi kapacít a multipolárnych kapacít, ktoré rozširujú už známe bi kapacity a bipolárne kapacity. Taktiež je študované spojenie medzi multi-, multipolárnymi kapacitami a hrami n hráčov s r alternatívami. [70] Bola zavedená rozšírená multi-polarita a diskutovaný jej vzťah ku klasifikácii problémov.
Asociativita t-noriem bola charakterizovaná geometrickým jazykom, konkrétne jazykom gewebovej geometrie a v nej etablovanej tzv. Reidmeistrovej uzáverovej vlastnoti.
Relácia dominancie bola plne popísaná na množine t-noriem, ktoré sú ordinálnymi sumami produktovej t-normy. Relácia dominancie bola plne popísaná na množine t-noriem, ktoré sú ordinálnymi sumami Lukasiewiczovej t-normy. Zavedený pojem osi spojitého konjunktora a dominancia spojitých konjunktorov charakterizovaná v jazyku osí konjunktorov. [51]
V jazyku FCT (Fuzzy Class Theory) zavedený pojdem graduovaného (odstupňovaného) splnenia algebraickej vlastnosti binárnou operáciou (logickou spojkou). Boli študované vzťahy medzi takto definovanými graduovanými algebrickými vlastnosťami binárnych operácií. Pojem graduovaného dominovania Lukasiewiczovej t-normy ordinálnou sumou Lukasiewiczových t-noriem bol vztiahnutý k pojmu graduovanej subaditivity odvodenej unárnej operácie.
Skúmali sme miery fuzzy orness pre OWA operátory (agregačné funkcie, ktoré sú usporiadanými váženými priemermi). Tieto miery už boli axiomaticky zavedené. My sme axiómy modifikovali a zaviedli sme novú mieru orness, ktorá je založená na zäzových operáciách spojenia a prieseku. Predstavili sme metódu na určenie OWA-operátora s danou mierou orness. [58]
Skúmali sme vlastnosti uninoriem (uninormy sú rastúce pologrupy na [0,1] s neutrálnym prvkom e) , ktoré majú vo štvorci [a,b]2 izomorfný obraz danej uninormy a v obdĺžnikoch [0,a[2, ]b,1]2, [0,a[×]b,1] a ]b,1]×[0,a[ sú konštantné. [57]
Konštruovali sme uninormy na [0,1] pomocou dláždenia. Je to metóda, pri ktorej sa z danej operácie (základnej dlaždice) pomocou morfizmou zapĺňa celý štvorec [0,1]2 štvorec máme rozdelený na nekonečne (spočítateľne) veľa obdĺžnikov. Ukázali sme, že sa takýmto spôsobom dajú zostrojiť uninormy s ľubovoľným neutrálnym prvkom, ktoré sú ostro rastúce vo vnútri jednotkového štvorca.
Navrhli sme metódu, pomocou ktorej môžeme postupne zmenšovať počet tried vo fuzzy rozklade (zhlukovej analýze) - teda jedná sa o "coarsening" - zhrubnutie fuzzy rozkladov. Používateľ metódy si môže lepšie voliť počet tried rozkladu podľa svojich potrieb. [56]
Evaluátory sú špeciálne monotónne miery na MV-algebrách fuzzy podmnožín danej množiny. V práci rozoberáme možnosti ako pomocou Shilkrétovho a Sugenovho integrálu môžeme zaviesť U- a N-evaluátory. U- a N-evaluátory predstavujú aj akési rozšírenie uninoriem a nullnoriem na MV-algebry fuzzy podmnožín danej množiny. [55]